题目内容
【题目】已知,.
(I)若,求函数在点处的切线方程;
(II)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(III)令,(是自然对数的底数),求当实数等于多少时,可以使函数取得最小值为3.
【答案】(I);(II);(III).
【解析】
试题分析:(I)当时,,,,.由点斜式可得切线方程为;(II)函数在上是增函数,导数恒为非负数,分离参数得在上恒成立.利用基本不等式求得右边函数最小值为,所以;(III),,对分成,且,且三种情况讨论最值的情况,进而求得.
试题解析:
(I)当时,,∴,∴,,
∴函数在点处的切线方程为.
(II)函数在上是增函数,
∴在上恒成立,
即在上恒成立.
令,则,当且仅当时,取“=”号.
∴,
∴的取值范围为.
(III)∵,∴.
(1)当时,,∴在上单调递减,
,(舍去).
(2)当且时,,在上恒成立,
∴在上单调递减,∴,,(舍去).
(3)当且时,,令,则,令,则,
∴在上单调递减,在上单调递增,
∴,∴满足条件.
综上所述,当实数时,使的最小值为3.
【题目】某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究,他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数,得到如下数据:
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差(℃) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数(颗) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是:先从这5组数据中选取2组,用剩下的3组数据求线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率;
(Ⅱ)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据,请根据12月2日至12月4日的数据,求关于的线性回归方程;
(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(Ⅱ)中所得的线性回归方程是否可靠?
(注:)