题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当在
处的切线与直线
垂直时,方程
有两相异实数根,求
的取值范围;
(2)若幂函数的图象关于
轴对称,求使不等式
在
上恒成立的
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:(1)方程有两相异实数根等价于
有两个零点;(2)令
,不等式
在
上恒成立,即求
的最小值
,
,对a分类讨论研究函数的单调性,从而确定出函数的最值.
试题解析:
(Ⅰ)由题设可得,令
,
则令
得
,
0 | |||
递减 | 极小值 | 递增 |
,
且 有两个不等实根
即
.
(Ⅱ)由题设有,令
,
则,令
,则
又
,
,
在
在单调递增,
又,
当,即
时,
,
所以在
内单调递增,
,所以
.
②当,即
时,由
在
内单调递增,
且,
使得
,
0 | |||
递减 | 极小值 | 递增 |
所以的最小值为
,
又,所以
,
因此,要使当时,
恒成立,只需
,即
即可.
解得,此时由
,可得
.
以下求出a的取值范围.
设,
, 得
,
所以在
上单调递减,从而
,
综上①②所述, 的取值范围
.
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