Question

3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x-2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程分析可得其焦点位置以及渐近线方程，结合题意分析有$\frac{b}{a}$=2，求出直线l与x轴交点坐标，即可得双曲线C的一个顶点坐标，即a的值，计算可得b的值，又由双曲线的焦点到渐近线的距离等于b，即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，
其渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有$\frac{b}{a}$=2，
直线l：y=2x-2与x轴交点坐标为（1，0），
即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，
则b=2a=2，
故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；
故选：B．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键注意“双曲线的焦点到渐近线的距离”等于b．