题目内容
14．
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（1）求图中实数a的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；
（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．
分析 （1）由等比数列性质及频率分布直方图，列出方程，能求出a．
（2）利用频率分布直方图能求出成绩不低于80分的人数．
（3）样本中成绩在[40，50）内的人数为2，成绩在[90，100]内的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
解答 解：（1）∵频率分布直方图前三段的频率成等比数列，
∴由频率分布直方图，得：（10b）2=0.05×0.20，解得b=0.010，
∴a=0.1-0.005-0.010-0.020-0.025-0.010=0.030．
（2）成绩不低于80分的人数估计为：640×（0.025+0.010）×10=224．
（3）样本中成绩在[40，50）内的人数为40×0.005×10=2，
成绩在[90，100]内的人数为40×0.010×10=4，
X的所有可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{4}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{1}{15}$ | $\frac{8}{15}$ | $\frac{2}{5}$ |
点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
练习册系列答案
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