Question

11．在数{a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=3a_n
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求出a_n；
（2）数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，求证{b_n}为等差数列并求出{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）在数列a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=3a_n．可得a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，利用定义即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=log₃a_n=n-1，作差b_n-b_n-1，为常数即可证明．再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 证明：（1）在数列a_n}中，a₁=1，且满足a_n+1=3a_n．
∴a_n≠0，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=3，
∴数列{a_n}为等比数列，首项为1，公比为3．
∴a_n=3^n-1．
（2）由（1）可得：b_n=log₃a_n=n-1，
∴b_n-b_n-1=n-（n-1）=1．
∴数列{b_n}为等差数列，首项为0，公差为1．
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{n（0+n-1）}{2}$=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．