Question

8．已知函数f（x）=2cos²2x-2，给出下列命题：
①?β∈R，f（x+β）为奇函数；
②?α∈（0，$\frac{3π}{4}$），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立；
③?x₁，x₂∈R，若|f（x₁）-f（x₂）|=2，则|x₁-x₂|的最小值为$\frac{π}{4}$；
④?x₁，x₂∈R，若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）．其中的真命题有（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ②③
• D． ①④

Answer 1

分析 化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断①错误；
根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，$\frac{3π}{4}$）的解，判断②正确；
由|f（x₁）-f（x₂）|=2时，|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{4}$，判断③正确；
当f（x₁）=f（x₂）=0时，x₁-x₂=kT=$\frac{kπ}{2}$，判断④错误．

解答 解：由题意，f（x）=2cos²2x-2=cos4x-1；
对于①，∵f（x）=cos4x-1的图象如图所示；
函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，
它不会是奇函数的，故①错误；
对于②，f（x）=f（x+2α），∴cos4x-1=cos（4x+8α）-1，
∴8α=2kπ，∴α=$\frac{kπ}{4}$，k∈Z；
又α∈（0，$\frac{3π}{4}$），∴取α=$\frac{π}{4}$或$\frac{π}{2}$时，
∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，②正确；
对于③，|f（x₁）-f（x₂）|=|cos4x₁-cos4x₂|=2时，
|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{2π}{2×4}$=$\frac{π}{4}$，∴③正确；
对于④，当f（x₁）=f（x₂）=0时，
x₁-x₂=kT=k•$\frac{2π}{4}$=$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），∴④错误；
综上，真命题是②③．
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题，是综合题．