Question

18．S_n等差数列{a_n}的前n项和，a₁＞0，当且仅当n=10时S_n最大，则$\frac{{S}_{12}}{{a}_{12}}$的取值范围为（-54，-21）．

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和，结合题意得出$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{10}＞0}\\{{a}_{11}＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{{a}_{1}}{9}$＜d＜-$\frac{{a}_{1}}{10}$；化$\frac{{S}_{12}}{{a}_{12}}$=6（1+$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$），根据d的取值范围求出$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$的取值范围，即可得出结论．

解答 解：S_n为等差数列{a_n}的前n项和，a₁＞0，当且仅当n=10时S_n最大，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{10}＞0}\\{{a}_{11}＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d＞0}\\{{a}_{1}+10d＜0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{{a}_{1}}{9}$＜d＜-$\frac{{a}_{1}}{10}$；
∴$\frac{{S}_{12}}{{a}_{12}}$=$\frac{1{2a}_{1}+\frac{12×11}{2}×d}{{a}_{1}+11d}$=6×$\frac{{2a}_{1}+11d}{{a}_{1}+11d}$=6（1+$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$），
又-$\frac{{a}_{1}}{9}$＜d＜-$\frac{{a}_{1}}{10}$，
∴-$\frac{{2a}_{1}}{9}$＜a₁+11d＜-$\frac{{a}_{1}}{10}$，
∴-10＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$$＜-\frac{9}{2}$，
∴-9＜1+$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$＜-$\frac{7}{2}$，
∴-54＜6（1+$\frac{{a}_{1}}{{a}_{1}+11d}$）＜-21，
∴$\frac{{S}_{12}}{{a}_{12}}$的取值范围是（-54，-21）．
故答案为：（-54，-21）．

点评 本题考查了等差数列的前n项和公式与通项公式的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是综合题．