Question

已知抛物线方程为y²=2px（p＞0），经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8．
（1）试求抛物线方程；
（2）若该抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足NF=

3

2

MN，求∠NMF的大小．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意，设抛物线方程为y²=2px，可求得过焦点且倾斜角为135°的直线方程为y=-x+

1

2

p，利用抛物线的定义结合题意可求得p，从而可求得抛物线方程，
（2）根据抛物线的定义，N作准线的垂线，垂足为G，NG=d=NF，构成直角三角形，利用角的互余求解运算．

解答： 解：（1）依题意，设抛物线方程为y²=2px，则直线方程为y=-x+

1

2

p．设直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D．
则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|
=x₁+

p

2

+x₂+

p

2

即x₁+

p

2

+x₂+

p

2

=8．①
又A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是抛物线和直线的交点，
由

y=-x+ p 2 y2=2px

消去y，得x²-3px+

p2

4

=0，
∵△=9p²-4×

p2

4

=8p²＞0．
∴x₁+x₂=3p．
将其代入①得p=2，
∴所求抛物线方程为y²=4x．
（2）根据抛物线的定义可知：N到准线的距离=d=|NF|，
∵NF=

3

2

MN，
∴N作准线的垂线，垂足为G，根据定义可知：sin∠GMN=

d

MN

=

NF

MN

=

3

2

，
即∠NMG=

π

3

∵∠NMF+∠GMN=

π

2

，
∴∠NMF=

π

6

故∠NMF的大小为：

π

6

，

点评：本题考察了抛物线的定义，几何性质，充分利用了到焦点的距离和到准线的距离相等这个条件，在计算中的作用．