Question

设f（x）=

(x+a)lnx

x+1

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求得函数f（x）的导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（Ⅱ）先将原来的恒成立问题转化为lnx≤m（x-

1

x

）．设g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，利用导数研究g（x）在（1，+∞）上单调性，求出函数g（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

(x+a)lnx

x+1

的导数为f′（x）=

[lnx+ x+a x )(x+1)-(x+a)lnx

(x+1)2

则在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1）=

2(1+a)

4

，
由于在点（1，f（1））处的切线与直线2x+y+1=0垂直，
则f′（1）=

1

2

，即

1+a

2

=

1

2

，
故a=0；
（Ⅱ）由于f（x）=

xlnx

x+1

，
当x=1时，f（1）=0，m（x-1）=0不等式f（x）≤m（x-1）成立，
当x＞1时，f（x）≤m（x-1）即为lnx≤m（x-

1

x

）．
设g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1时，g（x）≤0恒成立，
g′（x）=

1

x

-m（1+

1

x2

）=

-mx2+x-m

x2

①若m≤0时，g′（x）＞0，则g（x）在x＞1上递增，即有g（x）＞0，矛盾；
②若m＞0，-mx²+x-m=0的判别式△=1-4m²，
当△≤0时，即m≥

1

2

，g′（x）≤0，即g（x）在x＞1上递减，g（x）＜g（1）=0成立，
当△＞0时，即0＜m＜

1

2

时，方程-mx²+x-m=0的根x₁=

1- 1-4m2

2m

＜1，x₂=

1+ 1-4m2

2m

＞1．
当1＜x＜x₂时，g′（x）＞0，g（x）在x＞1上递增，g（x）＞g（1）=0矛盾．
综上，实数m的取值范围是：[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，转化为构造函数应用导数，判断单调性解决，属于中档题．