Question

已知f（x）=（1+x）^m，g（x）=（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）．
（1）若m=3，n=4，求f（x）g（x）的展开式含x²的项．
（2）令h（x）=f（x）+g（x），h（x）的展开式中含x的项的系数为12，那么当m，n为何值时，含x²的项的系数取得最小值？

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）利用二项式定理，分别找出得到x²的所有可能情况然后相加；
（2）由h（x）的展开式中含x的项的系数为12，得到m，n的关系式，然后将x²的系数用m，n表示，化简为关于一个变量的解析式，根据自变量范围求最小值．

解答： 解：（1）m=3，n=4，f（x）=（1+x）³，g（x）=（1+2x）⁴，
∴f（x）g（x）=（1+x）³（1+2x）⁴，∴展开式含x²的项有1×

C

2 4

(2x)2+x

C

1 4

2x+x²=33x²；
（2）h（x）=f（x）+g（x）=）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ，
∵h（x）的展开式中含x的项的系数为12，
∴

C

1 m

x+

C

1 n

2x=12x，即m+2n=12，
此时x²的系数为

C

2 m

+

4C

2 n

=

m(m-1)

2

+2n(n-1)=4n²-25n+66=4（n-

25

8

）²-

625

16

+66，n∈N^*，
∴n=3时，x²的项的系数取得最小值．

点评：本题考查了二项式定理的运用；明确项的系数的组成形式是解答的关键．