Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，即可求实数k的取值范围；
（2）假设存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立，利用韦达定理，代入计算，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0…（1分）
∴4k²+4k+1-4k²-8k≥0
∴1-4k≥0，…（3分）
∴k≤

1

4

．
∴当k≤

1

4

时，原方程有两个实数根．　　　                      …（6分）
（2）假设存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．
∵x₁，x₂是原方程的两根，
∴x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k．                      …（8分）
由x1•x2-x12-x22≥0，
得3x1•x2-(x1+x2)2≥0．
∴3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得：-（k-1）²≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．                       …（10分）
又由（1）知k≤

1

4

，
∴不存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．              …（12分）

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．