Question

已知函数f（x）=-2x²+4x+3．
（1）用单调性定义证明f（x）在[1，﹢∞）上是减函数；
（2）求函数f（x）在x∈[0，4]时的最大值与最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．
（2）由单调性及二次函数的特征求最值．

解答： 解：（1）证明：任取x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（-2x₁²+4x₁+3）-（-2x₂²+4x₂+3）
=（x₂-x₁）（2x₂+2x₁-4）
∵x₁，x₂∈[1，﹢∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，2x₂+2x₁-4＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
则f（x）在[1，﹢∞）上是减函数．
（2）∵函数f（x）=-2x²+4x+3是二次函数，且对称轴为x=1，
∴f（x）_max=f（1）=5，f（x）_min=f（4）=-13．

点评：本题考查了函数单调性的证明及函数的最值的求法，单调性的证明一般有两种方法，定义法，导数法．属于基础题．