Question

12．设T_n为数列{a_n}的前n项之积，即T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n，若a₁=2，$\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1（n∈{N^*}，n≥2）$，当T_n=11时，n的值为10．

Answer 1

分析 由题意可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}$为首项，以1为公差的等差数列，写出通项公式，求出a_n，再写出T_n，令T_n=11求得n的值．

解答 解：由a₁=2，$\frac{1}{{{a_n}-1}}-\frac{1}{{{a_{n-1}}-1}}=1（n∈{N^*}，n≥2）$，
可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}-1}$}是以$\frac{1}{{a}_{1}-1}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+（n-1）•1=n，
∴a_n=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴T_n=a₁a₂a₃…a_n-1a_n=2•$\frac{3}{2}$•$\frac{4}{3}$…$\frac{n+1}{n}$=n+1，
由T_n=n+1=11，得n=10．
故答案为：10．

点评 本题考查了数列递推式，以及累积法求数列通项公式的应用问题，是中档题．