Question

17．已知$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，p：sinx＜x，q：sinx＜x²，则p是q的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 $x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令f（x）=x-sinx，利用导数研究其单调性即可判断出命题p的真假．而$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令g（x）=x²-sinx，同理判断出此命题的真假．

解答 解：$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令f（x）=x-sinx，则f′（x）=1-cosx＞0，∴函数f（x）在$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$上单调递增，则f（x）＞f（0）=0，因此命题p是真命题．
而$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$，令g（x）=x²-sinx，则g′（x）=2x-cosx，${g}^{′}（0）{g}^{′}（\frac{π}{2}）$=-1×π＜0，∴g′（x）=0有解，因此函数g（x）存在极值点，设为x₀，则2x₀=cosx₀．g（x₀）=${x}_{0}^{2}$-sinx₀=$\frac{co{s}^{2}{x}_{0}}{4}$-sinx₀=$\frac{-si{n}^{2}{x}_{0}-4sin{x}_{0}+1}{4}$=$\frac{-（sin{x}_{0}+2）^{2}+5}{4}$∈$（-1，\frac{1}{4}）$，因此命题q不一定成立．
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．