Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=asinA，边BC上的高为h．
（1）求角A的大小；
（2）求$\frac{a}{h}$+tanB的最小值．

Answer 1

分析 （1）依题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，可知sin（B+C）=sinA=sin²A，易求sinA=1，从而可得答案，
（2）先表示出h=csinB，继而得到$\frac{a}{h}$+tanB=2tanB+$\frac{1}{tanB}$，利用基本不等式即可求出答案

解答 解：△ABC中，∵bcosC+ccosB=asinA，
∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=sin²A，
即sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=sin²A，又sinA＞0，
∴sinA=1，A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{2}$．
（2）∵在Rt△CAB中，边BC上的高为h
∴h=csinB，
∴$\frac{a}{h}$+tanB=$\frac{a}{csinB}$+$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinA}{sinCsinB}$+tanB，
=$\frac{1}{cosBsinB}$+tanB，
=$\frac{si{n}^{2}B+co{s}^{2}B}{cosBsinB}$+tanB，
=2tanB+$\frac{1}{tanB}$，
≥2$\sqrt{2tanB•\frac{1}{tanB}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当tanB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号，
∴$\frac{a}{h}$+tanB的最小值为2$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了正弦定理的应用以及基本不等式的应用．掌握三角函数的恒等变换是关键，属于中档题