Question

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），过点P（-2，-4）的直线l的参数方程为

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

（t为参数），l与C分别交于M，N．
（1）写出C的平面直角坐标系方程和l的普通方程；
（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）首先，对于曲线C：根据极坐标与直角坐标变换公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

，方程ρsin²θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，化成直角坐标方程，对于直线l：消去参数t即可得到普通方程；
（2）首先，联立方程组

y2=2ax x-y-2=0

，消去y整理，然后，设点M，N分别对应参数t₁，t₂，从而，得到|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|，然胡，结合一元二次方程根与系数的关系，建立含有a的关系式，求解a的取值．

解答： 解：（1）∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

，
方程ρsin²θ=2acosθ（a＞0），两边同乘以ρ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2ax（a＞0）；
直线l的普通方程为x-y-2=0．
（2）联立方程组

y2=2ax x-y-2=0

，
消去y并整理，得
t²-2（4+a）

2

t+8（4+a）=0  （*）
△=8a（4+a）＞0．
设点M，N分别对应参数t₁，t₂，恰为上述方程的根．
则|PM|=|t₁|，|PN|=|t₂|，|MN|=|t₁-t₂|．
由题设得（t₁-t₂）²=|t₁t₂|，
即（t₁+t₂）²-4t₁t₂=|t₁t₂|．
由（*）得t₁+t₂=2（4+a）

2

，t₁t₂=8（4+a）＞0，则有
（4+a）²-5（4+a）=0，得a=1，或a=-4．
∵a＞0，
∴a=1．

点评：本题重点考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程和普通方程的互化，直线与曲线的位置关系等知识，属于中档题．