Question

设函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（1+a）x²+ax，其中a＞1
（1）求f（x）在的单调区间；
（2）当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，求f（x）在的单调区间；
（2）求出原函数的导函数，由导函数小于0根据a的不同取值范围得到原函数在区间[1，3]上的单调性，利用单调性当x∈[1，3]时，求f（x）最小值及取得时的x的值．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f'（x）=x²-（a+1）x+a…1分
令f'（x）=0，得x₁=1，x₂=a
令f'（x）＞0，得x＞a或x＜1…2分
令f'（x）＜0，得1＜x＜a…3分
故（-∞，1）和（a，+∞）为f（x）单调递增区间，（1，a）为f（x）单调递减区间．…5分
（2）因为x∈[1，3]，所以
（ⅰ）当a≥3时，由（1）知，f（x）在[1，3]上单调递减，…7分
所以f（x）在x=3时取得最小值，…8分
最小值为：f(3)=

3a+15

2

…9分
（ⅱ）当1＜a＜3时，
由（Ⅰ）知，f（x）在[0，a]上单调递减，在[a，3]上单调递增，…11分
所以f（x）在x=a处取得最小值，最小值为：…12分
又f(a)=

1

2

a2-

1

6

a3，…13分
所以当a＞3时，f（x）在x=3处取得最小值f(3)=

9-3a

2

；
当1＜a＜3时，f（x）在x=a处取得最小值f(a)=

1

2

a2-

1

6

a3．…14分

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，通过正确的分类，利用导函数的符号判处函数在区间[1，3]内的单调情况是解决该题的关键，是难题．