题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；
（2）求证：PC⊥平面ADE．
考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得EF∥CD，AB∥CD，从而EF∥AB，由此得EF∥平面PAB，又EG∥PB，从而EG∥平面PAB，由此能证明平面EFG∥平面PAB．
（2）由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面PDC，进而AD⊥PC，又DE⊥PC，由此能证明PC⊥平面ADE．
（2）由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，从而AD⊥平面PDC，进而AD⊥PC，又DE⊥PC，由此能证明PC⊥平面ADE．
解答：
证明：（1）∵E，F分别是线段PC，PD的中点，
∴EF∥CD，
又ABCD为正方形，AB∥CD，
∴EF∥AB，
又EF不包含于平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∵E，G分别是线段PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又EG不包含于平面PAB，∴EG∥平面PAB，
∴平面EFG∥平面PAB．
（2）由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，
∴DE⊥PC，
AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE．
∴EF∥CD，
又ABCD为正方形，AB∥CD，
∴EF∥AB，
又EF不包含于平面PAB，∴EF∥平面PAB，
∵E，G分别是线段PC，BC的中点，
∴EG∥PB，
又EG不包含于平面PAB，∴EG∥平面PAB，
∴平面EFG∥平面PAB．
（2）由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，
又AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，
∴AD⊥PC，
又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，
∴DE⊥PC，
AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE．
点评：本题考查平面与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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