题目内容
7．已知数列{an}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，Sn是数列{bn}的前n项和，求证：Sn＜1．
分析 （I）设等差数列{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a4成等比数列．可得${a}_{2}^{2}$=a1a4，即（1+d）2=1×（1+3d），解得d即可得出．
（II）bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出．
解答 （I）解：设等差数列{an}的公差为d≠0，∵a1，a2，a4成等比数列．
∴${a}_{2}^{2}$=a1a4，∴（1+d）2=1×（1+3d），解得d=1．
∴an=1+（n-1）×1=n．
（II）证明：bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{bn}的前n项和Sn=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．
点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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