Question

18．已知二次函数f（x）满足关系式f（-2+x）=f（-2-x），f（x）的图象被x轴截得的线段长为4，且方程f（x）=x有唯一的解，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析 由f（-2+x）=f（-2-x）得出对称轴x=-2，由题意得f（x）的图象与x轴的交点坐标为（0，0）（-4，0），设f（x）=ax（x+4），利用一元二次方程根的问题求出a的值．

解答 解：∵二次函数f（x）满足f（-2+x）=f（-2-x），
∴对称轴x=-2，
∵f（x）的图象被x轴截得的线段长为4，
∴f（x）的图象与x轴的交点坐标为（0，0）（-4，0），
∴设f（x）=ax（x+4）=ax²+4ax，
∵方程f（x）=x有唯一的等根，
∴ax²+（4a-1）x=0有唯一的等根．
即△=（4a-1）²=0，解得a=$\frac{1}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+x．

点评 本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，方程的根，一元二次函数图象的交点问题，属于中档题．