Question

16．已知α，β∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，且3sin β=sin（2α+β），则α+β=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知可求范围$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{8}$），利用已知等式即可解得tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2，由3sin β=sin（2α+β），利用三角函数恒等变换的应用可得tan（α+β）=2tanα，利用二倍角公式可求tan（α+β）=1，结合α+β的范围，利用正切函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵$\frac{tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{1}{4}$，整理可得：tan²$\frac{α}{2}$+4tan$\frac{α}{2}$-1=0，解得tan$\frac{α}{2}$=-2$±\sqrt{5}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{4}$），$\frac{α}{2}$∈（0，$\frac{π}{8}$），
∴tan$\frac{α}{2}$=$\sqrt{5}$-2．
∵3sin β=sin（2α+β），可得：3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，
∴3sin （α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα，
∴可得：sin （α+β）cosα=2cos（α+β）sinα，
∴可得：tan（α+β）=2tanα=2tan（2×$\frac{α}{2}$）=2×$\frac{2tan\frac{α}{2}}{1-ta{n}^{2}\frac{α}{2}}$=2×$\frac{2（\sqrt{5}-2）}{1-（\sqrt{5}-2）^{2}}$=1，
∵α，β∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴α+β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β=$\frac{π}{4}$．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，二倍角公式，正切函数的图象和性质在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．