Question

15．已知函数f（x）=a^x-xlna+alnx-1（a＞0，且a≠1），给出下列结论：
①函数f（x）为定义域上的增函数；
②当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（a，1）上有且只有一个零点；
③对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥$\frac{1}{e}$恒成立的充要条件为a∈[$\frac{1}{e}$，1）；
④设g（x）=f（x）-a^x，存在唯一实数a，使得对任意x＞0，都有g（x）+1≤0．
其中正确结论的序号为①②④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间判断①即可；
②根据函数的单调性得到f（1）=a-lna-1，（0＜a＜1），令g（a）=a-lna-1，根据函数的单调性判断即可；
③根据函数的单调性不妨令a=$\frac{2}{e}$，计算f（1），不合题意；
④问题转化为$\frac{lna}{a}$≥$\frac{lnx}{x}$，令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出a的值即可判断．

解答 解：①f′（x）=lna（a^x-1）+$\frac{a}{x}$，
0＜a＜1时，a^x-1＜0，lna＜0，$\frac{a}{x}$＞0，
∴f′（x）＞0，
a＞1时，a^x-1＞0，lna＞0，$\frac{a}{x}$＞0，
∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）为定义域上的增函数，
故①正确；
②由①得，f（x）在区间（a，1）递增，
0＜a＜1，0＜a^a＜1，
∴f（a）=a^a-1＜0，
而f（1）=a-lna-1，（0＜a＜1），
令g（a）=a-lna-1，（0＜a＜1），
g′（a）=$\frac{a-1}{a}$＜0，g（a）递减，
g（a）＞g（1）=0，
∴f（1）=g（a）＞0，
∴当0＜a＜1时，函数f（x）在区间（a，1）上有且只有一个零点，
故②正确；
③对任意x∈[1，e]，由①f（x）在[1，e]递增，
不妨令a=$\frac{2}{e}$，得f（1）=$\frac{2}{e}$-ln$\frac{2}{e}$-1=$\frac{2}{e}$-ln2＜$\frac{1}{e}$，
故③错误；
④若g（x）+1≤0，
即a^x-xlna+alnx-1-a^x+1≤0，
即$\frac{lna}{a}$≥$\frac{lnx}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），
∴h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令h′（x）＜0，解得：x＞e，
∴h（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴h（x）_最大值=h（e），此时a=e，
故④正确，
故答案为：①②④．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及特殊值法的应用，是一道中档题．