Question

2．在直角坐标系中，曲线C₁：$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}$（θ为参数，a＞0）过点P（$\frac{3}{2}，\sqrt{3}$），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
（Ⅰ）求曲线C₁与直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）在C₁上求一点M，使点M到直线l的距离最小，求出最小距离及点M的坐标．

Answer 1

分析 （I）由曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），cos²θ+sin²θ=1，可得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$，把$P（\frac{3}{2}，\sqrt{3}）$代入方程即可得出．直线l的极坐标方程为$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐标方程．
（II）由椭圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos（θ-{θ_0}）-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$．利用三角函数的单调性与值域即可得出．

解答 解：（I）∵曲线${C_1}：\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=asinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），cos²θ+sin²θ=1，
∴$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{a^2}=1$，
∵$P（\frac{3}{2}，\sqrt{3}）$在曲线C₁上，则代入方程有a²=4，
∴${C_1}：\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$．
∵直线l的极坐标方程为$cosθ+2sinθ=\frac{10}{ρ}$，将极坐标方程两边同乘ρ可得：ρcosθ+2ρsinθ=10，
∴直线l的直角坐标方程x+2y-10=0．
（II）∵椭圆的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}}\right.$（θ为参数），
∴可设点M（3cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，点M到直线的距离为$d=\frac{{\begin{array}{l}{|3cosθ+4sinθ-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\begin{array}{l}{|5cos（θ-{θ_0}）-10|}\end{array}}}{{\sqrt{5}}}$．
其中$cos{θ_0}=\frac{3}{5}$，$sin{θ_0}=\frac{4}{5}$，由三角函数性质知，当θ-θ₀=0时，d取最小值为${d_{min}}=\sqrt{5}$．
此时$3cosθ=3cos{θ_0}=\frac{9}{5}$，$2sinθ=2sin{θ_0}=\frac{8}{5}$，
即点$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程的方法、椭圆的参数方程及其应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．