Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N*）．若S₃，S₉，S₆成等差数列，则 

a8

a2+a5

的值是

 

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：设等比数列{a_n}的公比为q、首项是a₁，根据公比q与1的关系进行分类，由等比数列的前n项和公式化简求值，再由等比数列的通项公式化简所求的式子即可．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q、首项是a₁，
当q=1时，有S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=a₁，不满足S₃，S₉，S₆成等差数列；
当q≠1时，因为S₃，S₉，S₆成等差数列，
所以2×

a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
化简得2q⁶-q³-1=0，解得q³=-

1

2

或q³=1（舍去），
则

a8

a2+a5

=

a1q7

a1q+a1q4

=

q6

1+q3

=

1

2

，
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查等比数列的前n项和公式、通项公式，分类讨论思想，使用等比数列的前n项和公式时需要对公比与1的关系进行讨论．