Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其左焦点为F（-

3

，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点D（1，0）直线：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，设线段AB的中点为M若DM⊥AB，试求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得

e= c a = 3 2 c= 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点（x₀，y₀），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出k的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得

e= c a = 3 2 c= 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点（x₀，y₀），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∵直线：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于A，B两点，
∴△=64k²-16（4k²+1）（m²-1）＞0，
解得4k²+1＞m²，①
x1+x2=-

8km

4k2+1

，
∴x0=-

4km

4k2+1

，y0=

m

4k2+1

，
由题意知DM垂直平分AB，∴DM的方程为x=-ky+1，
将点M的坐标代入，得m=-

4k2+1

3k

，②
由①②，得4k2+1＞

(4k2+1)2

9k

，
解得k＜-

5

5

或k＞

5

5

，
∴k的取值范围是（-∞，-

5

5

）∪（

5

5

，+∞）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．