题目内容
若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab-3bc+2c2的最大值为 ．
考点：柯西不等式在函数极值中的应用
专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：不妨考虑c，当c=0时，运用重要不等式a2+b2≥2ab，求得最大值；再由当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
，
分子分母同除以c2，设x=
，y=
，再整理成二次方程，由于x为实数，运用判别式大于等于0，再由y为实数，判别式小于等于0，即可解得所求的范围，进而得到最大值．
| 3ab-3bc+2c2 |
| a2+b2+c2 |
分子分母同除以c2，设x=
| a |
| c |
| b |
| c |
解答：
解：不妨考虑c，当c=0时，有3ab-3bc+2c2=3ab≤
=
，
当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
=
，
设x=
，y=
，则可令M=3ab-3bc+2c2=
，
即有Mx2-3xy+My2+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△1=9y2-4M（My2+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M2）y2-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△2=144M2+16M（9-4M2）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M2+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．
| 3(a2+b2) |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当c≠0时，3ab-3bc+2c2=
| 3ab-3bc+2c2 |
| a2+b2+c2 |
3•
| ||||||
(
|
设x=
| a |
| c |
| b |
| c |
| 3xy-3y+2 |
| x2+y2+1 |
即有Mx2-3xy+My2+M+3y-2=0，
由于x为实数，则有判别式△1=9y2-4M（My2+M+3y-2）≥0，
即有（9-4M2）y2-12My-4M（M-2）≥0，
由于y为实数，则△2=144M2+16M（9-4M2）（M-2）≤0，
即有M（M-3）（2M2+2M-3）≤0，
由于求M的最大值，则M＞0，则M≤3．
故答案为：3．
点评：本题考查重要不等式的运用：求最值，考查换元法转化为二次函数和二次方程有实根的条件，考查不等式的解法，属于压轴题和易错题．
练习册系列答案
相关题目
已知三角函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b同时满足以下三个条件：
①定义域为R；
②对任意实数x都有f（x）≤f（3）；
③f（x+2）=
+
，
则f（x）的单调区间为（ ）
①定义域为R；
②对任意实数x都有f（x）≤f（3）；
③f（x+2）=
| 1 |
| 2 |
| f(x)-f2(x) |
则f（x）的单调区间为（ ）
| A、[4k-1，4k+3]，k∈Z |
| B、[4k+1，4k+3]，k∈Z |
| C、[8k-2，8k+2]，k∈Z |
| D、[8k+2，8k+6]，k∈Z |
如图，已知圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交于点P，A（-1，0），B（1，0），直线l与圆O切于点S（l不垂直于x轴），抛物线过A、B两点且以l为准线．用反证法证明结论“?x0∈R”使得P（x0）成立，应假设（ ）
| A、?x0∈R，使得P（x0）不成立 |
| B、?x∈R，P（x）均成立 |
| C、?x∈R，P（x）均不成立 |
| D、不存在x0∈R，使得P（x0）不成立 |