Question

12．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径/mm	58	59	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	73	合计
件数	1	1	3	5	6	19	33	18	4	4	2	1	2	1	100

经计算，样本的平均值μ=65，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．
（Ⅰ）为证判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相就事件睥概率）：①P（μ-σ＜X≤μ+σ）≥0.6826，②P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≥0.9544，③P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≥0.9974，评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判定设备M的性能等级．
（Ⅱ）将直径小于等于μ-2σ或直径不大于μ+2σ的零件认为是次品，从样本所含次品中任取2件，则它们的直径之差不超过1mm的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；
（Ⅱ）确定基本事件，即可求出径之差不超过1mm的概率．

解答 解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8≥0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，
因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；…（6分）
（Ⅱ）易知样本中次品共6件，将直径为58，59，70，71，71，73的次品依次记为A，B，C，D，E，F从中任取2件，共有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF15种可能，而直径不超过1mm的取法共有AB，CD，CE，4种可能，由古典概型可知P=$\frac{4}{15}$．…（12分）

点评 本题考查概率的计算，考查正态分布曲线的特点，考查学生的计算能力，比较基础．