题目内容

3．已知圆O的方程为x2+y2=100．
（1）过点A（10，20）引圆O的切线，求切线的方程；
（2）由直线l：y=x+18上一点引圆O的切线，求切线长的最小值；
（3）已知直线y=kx+3与圆O交于M，N两点，若|MN|≥6$\sqrt{11}$，求k的取值范围；
（4）设圆O过点M（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积；
（5）设AC和BD为圆O的两条相互垂直的弦，且垂足为M（3，5），求四边形ABCD的面积的最大值；
（6）若圆O上有且只有4个点到直线l：x+y+λ=0的距离为1，求实数λ的取值范围．

分析 （1）设过A（10，20）的切线方程为kx-y-10k+20=0，由$\frac{|20|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=10，能求出切线方程．
（2）先求出圆心O（0，0）到直线l：y=x+18的距离d，再由圆半径r=10，能求出切线长的最小值．
（3）由圆心（0，0）到直线y=kx+3的距离d≤$\sqrt{100-99}$=1，能求出结果．．
（4）圆O过点M（3，5）的最长弦是直径，最短弦是垂直于直线的弦，由此能求出四边形ABCD的面积．
（5）设d1，d2分别是圆O到AC，BD的距离，则${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$=9+25=34，由基本不等式求出${d}_{1}={d}_{2}=\sqrt{17}$时，四边形ABCD的面积取最大值．
（6）点到直线距离公式有：圆心O（0，0）到直线l：x+y+λ=0的距离d=$\frac{|λ|}{\sqrt{2}}$，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（1）圆O：x2+y2=100的圆心O（0，0），半径r=10，
设过A（10，20）的切线方程为y-20=k（x-10），即kx-y-10k+20=0，
∴$\frac{|20|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=10，解得k=$±\sqrt{3}$，
∴切线方程为y=$±\sqrt{3}$（x-10）+20．
（2）∵圆心O（0，0）到直线l：y=x+18的距离d=$\frac{|18|}{\sqrt{2}}$=9$\sqrt{2}$，
圆半径r=10，
∴切线长的最小值为：$\sqrt{{d}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{162-100}$=$\sqrt{62}$．
（3）∵直线y=kx+3与圆O交于M，N两点，|MN|≥6$\sqrt{11}$，
∴圆心（0，0）到直线y=kx+3的距离d=$\frac{|3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤$\sqrt{100-99}$=1，
解得k$≥2\sqrt{2}$或k≤-2$\sqrt{2}$．
（4）∵圆O：x2+y2=100的圆心O（0，0），半径r=10，
圆O过点M（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，
∴AC=20，BD=2$\sqrt{100-（\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}）^{2}}$=2$\sqrt{66}$，
∴四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}×20×2\sqrt{66}$=20$\sqrt{66}$．
（5）设d1，d2分别是圆O到AC，BD的距离，则${{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}$=9+25=34，
∴四边形ABCD的面积S=S△CAD+S△CAB=$\frac{1}{2}•AC•BD$
=$\frac{1}{2}•2\sqrt{100-{{d}_{1}}^{2}}•2\sqrt{100-{{d}_{2}}^{2}}$=2$\sqrt{（100-{{d}_{1}}^{2}）（100-{{d}_{2}}^{2}）}$
=2$\sqrt{10{0}^{2}-100（{{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}）+（{d}_{1}{d}_{2}）^{2}}$
=2$\sqrt{6600+（{d}_{1}{d}_{2}）^{2}}$≤2$\sqrt{6600+（\frac{{{d}_{1}}^{2}+{{d}_{2}}^{2}}{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6600+289}$=166．
∴${d}_{1}={d}_{2}=\sqrt{17}$时，四边形ABCD的面积取最大值166．
（6）∵圆O上有且只有4个点到直线l：x+y+λ=0的距离为1，
点到直线距离公式有：圆心O（0，0）到直线l：x+y+λ=0的距离为：
d=$\frac{|λ|}{\sqrt{2}}$=1，解得λ=$±\sqrt{2}$，
∴-$\sqrt{2}＜λ＜\sqrt{2}$，
∴实数λ的取值范围是（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查切线的方程、切线长的最小值、实数取值范围、四边形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线距离公式、基本不等式的合理运用．

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