Question

4．下列命题：
①命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1，则x≠1”；
②命题“?x≥0，x²+x+1＜0”的否定是“?x＜0，x²+x+1≥0”
③对于常数m，n，“mn＜0”是“方程mx²+ny²=1表示的曲线是双曲线”的充要条件；
④“x＞1”是“|x|＞0”的必要不充分条件；
⑤已知向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不共面，则向量$\overrightarrow{OA}$可以与向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$和向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$构成空间向量的一个基底．
其中说法正确的有③⑤（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析 ①根据否命题的定义进行判断；
②根据含有量词的命题的否定进行判断；
③根据双曲线的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断；
④根据充分条件和必要条件的定义进行判断；
⑤根据空间向量基底的定义进行判断．

解答 解：①命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²≠1，则x≠1”；故①错误，
②命题“?x≥0，x²+x+1＜0”的否定是“?x≥0，x²+x+1≥0”故②错误，
③对于常数m，n，“mn＜0”是“方程mx²+ny²=1表示的曲线是双曲线”的充要条件；故③正确，
④“x＞1”是“|x|＞0”的充分不必要条件，故④错误；
⑤已知向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$不共面，向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$和向量$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$都不共面，即可以构成空间向量的一个基底．故⑤正确，
故正确的是③⑤，
故答案为：③⑤

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，充分条件和必要条件的判断以及含有量词的命题的否定，涉及的知识点较多，难度不大．