题目内容
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，点Q沿折线CBA以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．（1）填空：菱形ABCD的边长是
（2）探究下列问题：
①当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；
②在点P和点Q的运动过程中，△APQ能否成为等腰三角形，若能，请直接写出t的值，若不能，请说明理由．
考点：函数解析式的求解及常用方法,函数的图象
专题：函数的性质及应用
分析：（1）已知C，D的坐标，可在Rt△COD中用勾股定理求出CD的长即菱形的边长．菱形的面积就是4个Rt△COD的面积．
（2）求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．
（2）求△APQ的面积关键是求出底边AP上的高，过Q作QG⊥AD于G，那么QG就是△APQ的高，可根据相似三角形△AQG和△ABE来求出QG的长，然后根据三角形的面积计算方法即可得出关于S，t的函数关系式．然后根据得出的函数的性质即可得出S的最大值，以及对应的t的值．
解答：
解：（1）∵菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．
∴|CD|=
=5，S=
|AC||BD|=
×6×8=24．
故答案为：5，24．
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
作BE⊥AD，由
AD•BE=
BD•AO得BE=
，
过点Q作QG⊥AD，垂足为G，有QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴
=
∴QG=
-
，
∴S=
AP•QG=
t2+
t=
(t-
)2+6，
∴当t=
时，S的最大值为6．
②由AP=AQ得t=10-2t，
解得t=
．
故当t=
时，△APQ为等腰三角形．
∴|CD|=
| 32+42 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故答案为：5，24．
（2）①由题意，得AP=t，AQ=10-2t，
作BE⊥AD，由
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
过点Q作QG⊥AD，垂足为G，有QG∥BE得△AQG∽△ABE，
∴
| QG |
| BE |
| QA |
| BA |
∴QG=
| 48 |
| 5 |
| 48t |
| 25 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 25 |
| 5 |
| 2 |
∴当t=
| 5 |
| 2 |
②由AP=AQ得t=10-2t，
解得t=
| 10 |
| 3 |
故当t=
| 10 |
| 3 |
点评：本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是根据题意设出函数关系式，是难点，也是高考的重点，需熟练掌握．
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