Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=

1

2

PD．
（Ⅰ）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求平面QBP与平面BPC的夹角余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据已知条件建立空间直角坐标系，求向量

CD

，

DQ

，

PQ

的坐标，求

PQ

•

CD

，

PQ

•

DQ

，从而判断出

PQ

⊥

CD

，

PQ

⊥

DQ

，这样即可证明PQ⊥平面DCQ，这样便可证明平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）根据平面的法向量和平面内两向量垂直，求出平面BPC和平面QBP的法向量，根据这两法向量的夹角的余弦值求出这两平面夹角的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：由已知条件知，DA，DP，DC三条直线两两垂直，∴如图，分别以DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立D-xyz空间直角坐标系，则可确定以下几点坐标：Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0），D（0，0，0）；
∴

DQ

=(1，1，0)，

DC

=(0，0，1)，

PQ

=(1，-1，0)；
∴

PQ

•

DQ

=0，

PQ

•

DC

=0，∴

PQ

⊥

DQ

，

PQ

⊥

DC

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，DQ∩DC=D；
∴PQ⊥平面DCQ，又PQ?平面PQC；
∴平面PQC⊥平面DCQ；
（Ⅱ）依题意知：B（1，0，1），∴

CB

=(1，0，0)，

BP

=(-1，2，-1)；
设

n

=(x，y，z)是平面BPC的法向量，则

n • CB =0 n • BP =0

，即

x=0 -x+2y-z=0

，解得

x=0 z=2y

；
∴可取

n

=(0，1，2)；
同样，设

m

=(x，y，z)是平面QBP的法向量，则：

m • BP =0 m • PQ =0

，即

-x+2y-z=0 x-y=0

，解得

x=z y=z

；
∴取

m

=(1，1，1)；
∴设平面QBP与平面BPC的夹角为θ，则cosθ=

m • n

| m || n |

=

3

5 3

=

15

5

．

点评：考查建立空间直角坐标系，用向量的方法证明面面垂直，求两平面夹角的方法，向量的数量积，及向量垂直的充要条件，平面法向量的概念，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理．