Question

设z为虚数，且z+

1

z

+1=0．
（1）求z；
（2）求z+z²+z³+…+z²⁰¹³的值；
（3）若复数z所对应的点在第二象限，w∈C，且1≤|w-4z|≤2，求|w|的范围．

Answer 1

考点：复数求模,复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）依题意，可得z²+z+1=0，从而可得z；
（2）依题意，可得z³=1，利用等比数列的求和公式即可求得z+z²+z³+…+z²⁰¹³的值；
（3）利用1≤|w-4z|≤2表示的几何意义即可求得|w|的范围．

解答： 解：（1）∵z+

1

z

+1=0，
∴z²+z+1=0，解得z=-

1

2

±

3

2

i；
（2）∵z=-

1

2

±

3

2

i，
∴z³=1，又z²⁰¹³=z^671×3=1，{zⁿ}为等比数列，
∴z+z²+z³+…+z²⁰¹³=

z(1-z2013)

1-z

=0；
（3）∵复数z所对应的点在第二象限，
∴z=-

1

2

+

3

2

i，又1≤|w-4z|≤2，
∴1≤|w-（-2+2

3

i）|≤2，w是以（-2，2

3

）为圆心，半径分别为2与1的圆环，
∴4-2≤|w|≤4+2，即2≤|w|≤6．

点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查等比数列的求和公式及复数的几何意义，属于中档题．