题目内容
已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1，（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求证数列{an+1+2an}是等比数列；
（Ⅱ）求出所有使数列{an+1+λan}成等比数列的λ的值；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
（Ⅰ）求证数列{an+1+2an}是等比数列；
（Ⅱ）求出所有使数列{an+1+λan}成等比数列的λ的值；
（Ⅲ）求数列{an}的通项公式．
考点：数列递推式,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）把已知的数列递推式变形，得到an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），由此证得数列{an+1+2an}是等比数列；
（Ⅱ）数列{an+1+λan}成等比数列，求出前3项，利用等差数列的性质，直接求出λ的值；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，得到方程组，然后求数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）数列{an+1+λan}成等比数列，求出前3项，利用等差数列的性质，直接求出λ的值；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，得到方程组，然后求数列{an}的通项公式．
解答：
（Ⅰ）证明：由an+1=an+6an-1，得
an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），
∵a1=5，a2=5，∴a2+2a1=15，
故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*），
{an+1+λan}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ，
依题意得（7+λ）2=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n=2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
当λ=-3时，{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得an+1+2an=5•3n，由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n），
即an-3n=2（-2）n-1，
故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n．
an+1+2an=3（an+2an-1）（n≥2），
∵a1=5，a2=5，∴a2+2a1=15，
故数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列；
（Ⅱ）∵数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1（n≥2，n∈N*），
{an+1+λan}的前三项分别为5+5λ，35+5λ，65+35λ，
依题意得（7+λ）2=（1+λ）（13+7λ），
解得λ=-3或2．
当n=2时，{an+2an-1}是首项为15公比为3的等比数列，
当λ=-3时，{an-3an-1}是首项为-10，公比为-2的等比数列；
（Ⅲ）由（Ⅰ）得an+1+2an=5•3n，由待定系数法可得（an+1-3n+1）=-2（an-3n），
即an-3n=2（-2）n-1，
故an=3n+2（-2）n-1=3n-（-2）n．
点评：本题是中档题，考查等差数列的基本性质，考查计算能力，利用数列的前3项是等比数列建立方程是解题的关键．本题第三小题借用（Ⅰ）结论用解方程组的方法求出数列通项，设计巧妙，值得借鉴．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的两个顶点C，D的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD以每秒1个单位的速度向终点D运动，点Q沿折线CBA以每秒2个单位的速度向终点A运动，设运动时间为t秒．