Question

如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y＝kx＋m与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．

(1)求k的取值范围，并求的最小值；
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

(1) (－1，1) ；2．
(2) 定值－(3＋2)

(1)∵l与圆相切，∴1＝
∴m²＝1＋k²，①
由得，
∴
∴，∴，故k的取值范围为(－1，1)．
由于，
∴，
∵∴当时，取最小值为2．
(2)由已知可得，的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，
∴，，
∴＝=
＝
＝
＝＝，
由①，得，
∴＝＝－(3＋2)为定值．