Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，左右焦点分别为F₁、F₂，点G在椭圆上，且

GF1

•

GF2

=0，△GF₁F₂的面积为6，则椭圆C的方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得e=

c

a

=

3

2

，|

GF1

|+|

GF2

|=2a，|

GF1

|²+|

GF2

|²=4c²，

1

2

|

GF1

|•|

GF2

|=6，由此能求出椭圆C的方程．

解答： 解：∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，
∴e=

c

a

=

3

2

，①
∵左右焦点分别为F₁、F₂，点G在椭圆上，
∴|

GF1

|+|

GF2

|=2a，②
∵

GF1

•

GF2

=0，△GF₁F₂的面积为6，
∴|

GF1

|²+|

GF2

|²=4c²，③

1

2

|

GF1

|•|

GF2

|=6，④．
联立①②③④，得a²=24，b²=6，
∴椭圆C的方程为

x2

24

+

y2

6

=1．
故答案为：

x2

24

+

y2

6

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．