Question

已知曲线C₁：

x=-4+cost y=3+sint

（t为参数），C₂：

x=8cosθ y=3sinθ

（θ为参数）．
（1）化C₁，C₂的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C₁上的点P对应的参数为t=

π

2

，Q为C₂上的动点，求PQ中点M到直线C₃：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，再根据圆、椭圆的标准方程可得结论．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求得M到C₃的距离d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|sin（θ+α）-

13

5

|，从而求得d取得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）把C₁，C₂的参数方程消去参数，化为普通方程分别为C1：(x+4)2+(y-3)2=1，C2：

x2

64

+

y2

9

=1，
C₁为圆心是（-4，3），半径是1的圆；C₂为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
（Ⅱ）当t=

π

2

时，P（-4，4），设Q（8cosθ，3sinθ），故M(-2+4cosθ，2+

3

2

sinθ)，C₃为直线x-2y-7=0，
求得M到C₃的距离d=

5

5

|4cosθ-3sinθ-13|=

5

|

4

5

cosθ-

3

5

sinθ-

13

5

|=

5

|sin（θ+α）-

13

5

|，其中，sinα=

4

5

，cosα=-

3

5

．
从而当sin（θ+α）=1，即当 cosθ=

4

5

，sinθ=-

3

5

时，d取得最小值为

8 5

5

．

点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式，辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于基础题．