Question

已知数列a₁，a₂，…，a₈，满足a₁=2013，a₈=2014，且a_n+1-a_n∈{-1，

1

3

，1}（其中n=1，2，…，7），则这样的数列{a_n}共有

 

个．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：创新题型,排列组合

分析：运用数列相邻两项差的值，可能够取值的情况分类讨论，转化为排列组合问题求解．

解答： 解：∵数列a₁，a₂，…，a₈，满足a₁=2013，a₈=2014，
∴a₈-a₁=a₈-a₇+a₇-a₆+a₆-a₅+a₅-a₄+a₄-a₃+a₃-a₂+a₂-a₁=1，
a_n+1-a_n∈{-1，

1

3

，1}（其中n=1，2，…，7），共有7对差，
可能a_n+1-a_n=-1，或a_n+1-a_n=

1

3

，或a_n+1-a_n=1．
设-1有x个，

1

3

有y个，1有7-x-y个，
则想x（-1）+

y

3

+1×（7-x-y）=1，
即6x+2y=18，x，y∈[0，7]的整数，
可判断；x=1，y=6；x=2，y=3；x=3，y=0，三组符合
所以共有数列C

1 7

+C

3 7

C

2 4

C

2 2

+

C

3 7

C

4 4

=7+210+35=252．
故答案为：252

点评：本题考查了方程的解转化为组合问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，转化能力．