Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F1F2|=2

2

，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．
（1）求椭圆方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，又点A（0，-1），当|AM|=|AN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用|F1F2|=2

2

，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点．列出方程组求出a、b即可求得椭圆方程．
（2）当k=0时，直线和椭圆有两交点只需-1＜m＜1；当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_p，y_p），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用直线与椭圆有两个不同的交点，得到△＞0，可得m²＜3k²+1，通过|AM|=|AN|，判断AM⊥AN，得到2m=3k²+1，然后求得m的取值范围．

解答： 解：（1）由已知，可得c=

2

，a=

3

b，
∵a²=b²+c²，∴a=

3

，b=1，
∴

x2

3

+y2=1．…（4分）
（2）当k=0时，直线和椭圆有两交点只需-1＜m＜1；        …（5分）
当k≠0时，设弦MN的中点为P（x_p，y_p），x_M、x_N分别为点M、N的横坐标，由

y=kx+m x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直线与椭圆有两个不同的交点，所以
∴△＞0，即m²＜3k²+1    ①…（7分）
x_p=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，从而y_p=kx_p+m=

mk

3k2+1

，kAP=

yp+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

  …（9分）
又|AM|=|AN|∴AM⊥AN，则-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1 ②，…（10分）
将②代入①得2m＞m²，解得0＜m＜2，由②得k²=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，
故所求的m取值范围是(

1

2

，2)．…（12分）
∴当k≠0时，m的取值范围是（

1

2

，2）．
当k=0时，m的取值范围是（-1，1）…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，求解范围问题，一般通过含变量一个方程与一个不等式的关系求解．