Question

已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是中心在原点的椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）点A的坐标为（-2，1），M为椭圆C上任意一点，求|MF|+|MA|的最大值；
（Ⅲ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，且满足

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知推导出|MF|+|MF′|=2a=10，|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，由此能求出|MF|+|MA|的最大值．
（Ⅲ）由点P（m，n）在椭圆C上运动，知m2+n2＞

m2

25

+

n2

16

=1，由此能求出直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R），
∴（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
则由

x-2y-3=0 4x+3y-12=0

，解得

x=3 y=0

，
∴定点F（3，0）．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）
∵直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F
恰好是中心在原点的椭圆C的一个焦点，
且椭圆C上的点到点F的最大距离为8，
∴

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的两个焦点分别F（3，0），F′（-3，0），
则有|MF|+|MF′|=2a=10，
|MF|+|MA|=10+|MA|-|MF′|，
当M，A，F′三点不共线时，|MA|-|MF|＜|F′A|，
当M落在AF′的延长线上时，|MA|-|MF′|=|F′A|，
|F′A|=

(-2+3)2+(1-0)2

=

2

，
∴|MF|+|MA|的最大值为10+

2

．
（Ⅲ）∵点P（m，n）在椭圆C上运动，
∴m2+n2＞

m2

25

+

n2

16

=1，
∴圆O的圆心到直线l的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，
∴直线l与圆O相交，
∵直线l被圆O截得的弦长为：
L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 25 9m2+400

，0≤m²≤25，
∴L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
∴直线l被圆O所截得的弦长的取值范围[

15

2

，

4 6

5

]．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查两线段和的最大值的求法，考查弦长的取值范围的求法，解题时要注意等价转化思想的合理运用．