Question

在圆x²+y²=4上任取一点P，设点P在x轴上的正投影为点D．当点P在圆上运动时，动点M满足

PD

=2

MD

，动点M形成的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点E（1，0），若A，B是曲线C上的两个动点，且满足EA⊥EB，求

EA

•

BA

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）解法1：由

PD

=2

MD

知点M为线段PD的中点，设点M的坐标是（x，y），则点P的坐标是（x，2y）代入圆的方程即可求曲线C的方程；
解法2：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），由

PD

=2

MD

得，x₀=x，y₀=2y，代入圆的方程求解即可．
（2）通过EA⊥EB，

EA

•

EB

=0，设点A（x₁，y₁），

EA

•

BA

=

EA

2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+1-

x12

4

=

3

4

x12-2x1+2=

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

，利用-2≤x₁≤2，即可求解

EA

•

BA

的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）解法1：由

PD

=2

MD

知点M为线段PD的中点．…（1分）
设点M的坐标是（x，y），则点P的坐标是（x，2y）．…（2分）
∵点P在圆x²+y²=4上，
∴x²+（2y）²=4．…（3分）
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
解法2：设点M的坐标是（x，y），点P的坐标是（x₀，y₀），
由

PD

=2

MD

得，x₀=x，y₀=2y．…（1分）
∵点P（x₀，y₀）在圆x²+y²=4上，∴x02+y02=4．      ①…（2分）
把x₀=x，y₀=2y代入方程①，得x²+4y²=4．…（3分）
∴曲线C的方程为

x2

4

+y2=1．…（4分）
（2）解：∵EA⊥EB，∴

EA

•

EB

=0．…（5分）
∴

EA

•

BA

=

EA

•(

EA

-

EB

)=

EA

2．…（7分）
设点A（x₁，y₁），则

x12

4

+y12=1，即y12=1-

x12

4

．…（8分）
∴

EA

•

BA

=

EA

2=(x1-1)2+y12=x12-2x1+1+1-

x12

4

=

3

4

x12-2x1+2=

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

．…（10分）
∵点A（x₁，y₁）在曲线C上，
∴-2≤x₁≤2．…（11分）
∴

2

3

≤

3

4

(x1-

4

3

)2+

2

3

≤9．…（13分）
∴

EA

•

BA

的取值范围为[

2

3

，9]．…（14分）

点评：本题考查向量与椭圆的位置关系，向量在几何中的应用，考查基本知识的应用，分析问题解决问题的能力．