Question

18．已知f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1．
（1）f（x）的图象是由y=sin x的图象如何变换而来？
（2）求f（x）的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x的值．

Answer 1

分析 （1）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
（2）由条件利用正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性、单调性即可得解．

解答 解：（1）将函数y=sin x图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y=3sinx的图象，
再把所得函数图象上每一点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数y=3sin2x的图象，
再把所得函数的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位长度，得到函数y=3sin（2x+$\frac{π}{4}$） 的图象，
再把所得函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1的图象．
（2）对于函数f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{4}$）-1，它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，可得函数的图象的对称轴方程为x=$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z．
由2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x=kπ+$\frac{π}{8}$，可得当x=kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z时，f（x）的最大值为3-1=2．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查正弦函数的周期性、正弦函数的图象的对称性，属于基础题．