Question

9．如图（1），三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，F，G，H，分别是PC，AC，BC的中点，I是线段FG上任意一点，PC=AB=2BC，过点F作平行于底面ABC的平面截三棱锥，得到几何体DEF-ABC，如图（2）所示．
（1）求证：HI∥平面ABD；
（2）若AC⊥BC，求二面角A-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）利用中位线定理、面面线面平行的判定与性质定理即可证明．
（2）利用余弦定理可得cos∠GHF，根据V_C-FGH=V_F-CGH，即可得出．

解答 （1）证明：∵F，G，H，分别是PC，AC，BC的中点，∴GH∥AB，FG∥PA．∵GH?平面PAB，FG?平面PAB，
∴GH∥平面PAB，FG∥平面PAB．∵FG∩GH=G，∴平面PAB∥平面FGH．∵HI?平面FGH，∴HI∥平面ABD．
（2）解：由题意可得：HF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，HG=1，GF=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故cos∠GHF=$\frac{1+\frac{5}{4}-\frac{7}{4}}{2×1×\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．故sin∠GHF=$\frac{\sqrt{95}}{10}$，记点C到平面FGH的距离为h，
∵V_C-FGH=V_F-CGH，
∴$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$×1=$\frac{1}{3}×$$（\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{95}}{10}）$×h，
解得h=$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查了面面线面平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、“等体积变形”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．