Question

10．已知椭圆与双曲线$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$有共同的焦点，且离心率为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{25}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{5}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{20}=1$
• D． $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{25}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标，可以设出椭圆的标准方程，分析可得a²-b²=5①，又由其离心率可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$②，联立解可得a、b的值，将其代入椭圆的方程，计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$，其焦点在x轴上，
且c=$\sqrt{3+2}$=$\sqrt{5}$，
则双曲线的焦点坐标为（±$\sqrt{5}$，0）；
要求椭圆的焦点也在x轴上，设其方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
有$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，即a²-b²=5，①
又由其离心率e=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，则有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，②
解可得a=5，b=2$\sqrt{5}$，
则椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1；
故选：C．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是求出双曲线的焦点坐标，从而列出椭圆中关于a、b的方程组．