Question

8．已知双曲线与 椭圆x²+4y²=64共焦点，它的一条渐近线方程为$x-\sqrt{3}y=0$，则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

Answer 1

分析 求得椭圆的标准方程及焦点坐标，根据双曲线渐近线方程求得a和b的关系，即可求得a和b的值，求得双曲线方程．

解答 解：由椭圆x²+4y²=64的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，焦点坐标为：（±4$\sqrt{3}$，0），
则c=4$\sqrt{3}$，设双曲线的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0），
渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，则$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，即a=$\sqrt{3}$b，
由a²+b²=c²=48，解得：a²=36，b²=12，
∴双曲线的标准方程：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{12}=1$．

点评 本题考查椭圆及双曲线的标准方程，考查双曲线的渐近线方程，考查转化思想，属于中档题．