Question

4．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）经过抛物线y²=8x的焦点，则该双曲线的离心率是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线的方程可得其焦点坐标，将其代入双曲线的方程可得a²的值，即可得双曲线的方程，计算可得c的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线的方程为y²=8x，
其焦点为（2，0），
若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-y²=1（a＞0）经过点（2，0），
则有$\frac{4}{{a}^{2}}$-0=1，解可得a²=4，
即双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
则a=2，c=$\sqrt{4+1}$=$\sqrt{5}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线、抛物线的几何性质，注意由抛物线的几何性质求出其焦点坐标．