Question

9．如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C-D-E-F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形，设DE=t百米，记修建每1百米参观线路的费用为f（t）万元，经测算f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{5，0＜t≤\frac{1}{3}}\\{8-\frac{1}{t}，\frac{1}{3}＜t＜2}\end{array}\right.$

（1）用t表示线段EF的长；
（2）求修建参观线路的最低费用．

Answer 1

分析 （1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xoy．设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．利用EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，解得EF．
（2）设修建该参观线路的费用为y万元．
①当$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．利用y′，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上单调递减，即可得出y的最小值．
②当$\frac{1}{3}＜t＜2$时，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答 解：（1）设DQ与半圆相切于点Q，则由四边形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，
以CF所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，
建立平面直角坐标系xoy．
设EF与圆切于G点，连接OG，过点E作EH⊥OF，垂足为H．
∵EH=OG，∠OFG=∠EFH，∠GOF=∠HEF，
∴Rt△EHF≌Rt△OGF，∴HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．
∴EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，
解得EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）．
（2）设修建该参观线路的费用为y万元．
①当$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．y′=$5（\frac{3}{2}-\frac{2}{{t}^{2}}）$＜0，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上单调递减，
∴t=$\frac{1}{3}$时，y取得最小值为32.5．
②当$\frac{1}{3}＜t＜2$时，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．
y′=12-$\frac{16}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{{t}^{3}}$=$\frac{4（t-1）（3{t}^{2}+3t-1）}{{t}^{3}}$．
∵$\frac{1}{3}＜t＜2$，∴3t²+3t-1＞0．
∴t∈$（\frac{1}{3}，1）$时，y′＜0，函数y此时单调递减；t∈（1，2）时，y′＞0，函数y此时单调递增．
∴t=1时，函数y取得最小值24.5．
由 ①②知，t=1时，函数y取得最小值为24.5．
答：（1）EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）（百米）．（2）修建该参观线路的最低费用为24.5万元．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值与最值、不等式的性质、直线与圆相切的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．