Question

12．已知点M，N是抛物线C：y=4x²上不同的两点，F为抛物线C的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN的中点P到C的准线l的距离记为d，若|MN|²=λ•d²，则λ的最小值为2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．

解答 解：抛物线y=4x²的标准方程x²=$\frac{1}{4}$y，则焦点F（0，$\frac{1}{16}$），准线为y=-$\frac{1}{16}$，
过P做PD⊥准线l交准线l于D，
设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=135°，
可得|MN|²=|MF|²+|NF|²-2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a²+b²+$\sqrt{2}$ab，
由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，
由梯形的中位线定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），
由|MN|²=λ•d²，可得$\frac{1}{4}$λ=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+\sqrt{2}ab}{（a+b）^{2}}$=1-$\frac{（2-\sqrt{2}）ab}{（a+b）^{2}}$≥1-$\frac{（2-\sqrt{2}）ab}{（2\sqrt{ab}）^{2}}$=1-$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{4}$，
可得λ≥2+$\sqrt{2}$，当且仅当a=b时，取得最小值2+$\sqrt{2}$，
λ的最小值2+$\sqrt{2}$，
故答案为：2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．