Question

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4x-{x^2}，x≥0\\ \frac{3}{x}，x＜0\end{array}$，若函数g（x）=|f（x）|-3x+b有三个零点，则实数b的取值范围为$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．

Answer 1

分析 求出函数|f（x）-3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．|

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}4x-{x^2}，x≥0\\ \frac{3}{x}，x＜0\end{array}$，若函数g（x）=|f（x）|-3x+b有三个零点，
就是h（x）=|f（x）|-3x与y=-b有3个交点，
h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}^{2}，0≤x≤4}\\{{x}^{2}-7x，x＞4}\\{-\frac{3}{x}-3x，x＜0}\end{array}\right.$，画出两个函数的图象如图：
，
当x＜0时，-$\frac{3}{x}-3x$≥6，当且仅当x=-1时取等号，此时-b＞6，可得b＜-6；
当0≤x≤4时，x-x²≤$\frac{1}{4}$，当x=$\frac{1}{2}$时取得最大值，满足条件的b∈（-$\frac{1}{4}$，0]．
综上，b∈$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．
给答案为：$（-∞，-6）∪（-\frac{1}{4}，0]$．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合以及计算能力．