Question

17．已知A、B分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右顶点，离心率e=$\frac{1}{2}$，右焦点与抛物线y²=4x的焦点F重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q，证明：Q、P、B三点共线．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y²=4x，求得焦点F（1，0），即c=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a，由b²=a²-c²，即可求得椭圆C的方程；
（2）由题意设AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），代入椭圆方程，由韦达定理求得P点坐标，QF⊥AP，QF斜率，与AP联立，求得Q点坐标，即可求得k_BQ=k_PQ，即可证明Q、P、B三点共线．

解答 解：（1）抛物线的焦点F（1，0），即c=1，
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（4分）
（2）由（1）知直线l的方程为x=-2，
∵点P异于A，B，
∴直线AP的斜率存在且不为0，
设AP的方程为y=k（x+2）（k≠0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
∴${x_P}+{x_A}=\frac{{-16{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
∴${x_P}=\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，${y_P}=\frac{12k}{{3+4{k^2}}}$．
又∵QF⊥AP，k_QF=-$\frac{1}{k}$，
∴直线QF的方程为$y=-\frac{1}{k}（x-1）$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{y=-\frac{1}{k}（x-1）}\end{array}\right.$，解得交点$Q（-2，\frac{3}{k}）$，${k_{PQ}}=\frac{{\frac{12k}{{3+4{k^2}}}-\frac{3}{k}}}{{\frac{{6-8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+2}}=-\frac{3}{4k}$，${k_{BQ}}=\frac{{\frac{3}{k}-0}}{-2-2}=-\frac{3}{4k}$，
即k_BQ=k_PQ，有公共点Q，所以Q，P，B三点共线…（12分）

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．