设函数f(x)=asinωx+bcosωx的最小正周期为π.$$是函数f(x)图象的一个对称中心.且曲线y=f(x)在该点处切线的斜率为-8．(1)求a.b.ω的值,(2)若角α.β的终边不共线.且f.求tan的值,的图象与函数f(x)的图象关于直线x=-$\frac{π}{24}$对称.判断:曲线y=g(x)上是否存在与直线2x+19y+c=0垂直的切线?证明你的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＜0）的最小正周期为π，$（-\frac{π}{6}，0）$是函数f（x）图象的一个对称中心，且曲线y=f（x）在该点处切线的斜率为-8．
（1）求a，b，ω的值；
（2）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值；
（3）若函数y=g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{π}{24}$对称，判断：曲线y=g（x）上是否存在与直线2x+19y+c=0（c为常数）垂直的切线？证明你的结论．

分析（1）通过函数f（x）的最小正周期为π，求出ω=，利用$f（-\frac{π}{6}）=0$，得b=$\sqrt{3}$a，化简函数f（x）=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）．利用函数的导数求解切线斜率，得到a，即可求出函数解析式．
（2）f（α）=f（β），推出α+β，然后求解$tan（α+β）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）通过函数导数的范围，通过存在切线与直线2x+19y+c=0垂直，则斜率为$\frac{19}{2}$，然后判断不存在这样的切线．

解答解：（1）函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＜0）的最小正周期为π，可得T=$\frac{2π}{ω}=π$，
∴ω=2，由$f（-\frac{π}{6}）=0$，得$asin（-\frac{π}{6}×2）+bcos（-\frac{π}{6}×2）=0$，b=$\sqrt{3}$a，又a＜0，所以函数f（x）=asin2x+$\sqrt{3}$acos2x=2asin（2x+$\frac{π}{3}$）．
f′（x）=4acos（2x+$\frac{π}{3}$）．f′（$-\frac{π}{6}$）=-8，所以a=-2．
b=-2$\sqrt{3}$，f（x）=-4sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）$-4sin（2a+\frac{π}{3}）=-4sin（2β+\frac{π}{3}）=0$，$（2α+\frac{π}{3}）=（2β+\frac{π}{3}）+2kπ（k∈Z）$或$（2α+\frac{π}{3}）+（2β+\frac{π}{3}）=2kπ+π（k∈Z）$，
即α=β+kπ（k∈Z）（舍，因为α，β终边不共线）
$α+β=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
∴$tan（α+β）=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（3）$g（x）=f（-\frac{π}{12}-x）=-4sin[2（-\frac{π}{12}-x）+\frac{π}{3}]$=$-4sin（-2x+\frac{π}{6}）=4sin（2x-\frac{π}{6}）$，${g^'}（x）=8cos（2x-\frac{π}{6}）∈[-8，8]$，
若存在切线与直线2x+19y+c=0垂直，则斜率为$\frac{19}{2}$，
故不存在这样的切线．

点评本题考查函数的导数的应用，切线方程以及三角函数化简求值，函数的对称性的应用，考查计算能力．